Zdobywca pierwszej nagrody na Międzynarodowym Konkursie ARD w Monachium oraz laureat Międzynarodowego Konkursu „Praska Wiosna” i nagrody Parlamentu Europy i Rady Europejskiej. Urodził się w Łodzi. Tu ukończył studia pod kierunkiem Kazimierza Michalika, a uzupełniał je pracując m.in. z André Navarrą, Milošem Sadlo oraz Danielem Szafranem podczas licznych kursów mistrzowskich. Odbył dwuletnie studia w Londynie, w klasie Williama Pleetha jako stypendysta Witolda Lutosławskiego.
W swojej karierze Andrzej Bauer wystąpił z recitalami m.in. w Amsterdamie, Paryżu, Wiedniu, Hamburgu, Monachium, a także z orkiestrami symfonicznymi m.in. z Filharmonikami Monachijskimi, Orkiestrą RAI w Neapolu, Orkiestrą Filharmoniczną w Strasburgu, Orkiestrą Radia w Stuttgarcie oraz Orkiestrą Radiową w Berlinie. Koncertował jako solista z większością polskich orkiestr symfonicznych i kameralnych, a Filharmonia Narodowa i Sinfonia Varsovia zapraszały go jako solistę swoich europejskich tras koncertowych.
Andrzej Bauer nagrywał dla wielu polskich i zagranicznych rozgłośni radiowych i stacji telewizyjnych. Brał udział w międzynarodowych festiwalach, występując w większości krajów Europy, a także w Stanach Zjednoczonych i Japonii.
Płyta artysty zawierająca m. in. utwory Schuberta, Brahmsa i Schumanna (Koch/Schwann) została wyróżniona kwartalną Nagrodą Niemieckiej Krytyki Płytowej. W kolejnych nagraniach CD wiolonczelista utrwalił utwory Szostakowicza, Prokofiewa, Strawińskiego, Messiaena, Panufnika, a także Koncert Wiolonczelowy Witolda Lutosławskiego. W 2000 roku ukazał się – pierwszy w historii polskiej dyskografii – dwupłytowy album z kompletem Suit J. S. Bacha, zarejestrowanych przez wiolonczelistę dla firmy CD Accord, za który artysta otrzymał nagrodę Polskiej Akademii Fonograficznej – Fryderyk 2000.
Artysta wykonuje obszerny repertuar zawierający wiele dzieł muzyki nowej
i najnowszej, w tym utwory specjalnie dla niego skomponowane. W roku 2002, podczas 44. Międzynarodowego Festiwalu Warszawska Jesień wystąpił z recitalem prawykonań utworów na wiolonczelę solo i media elektroniczne powstałych z jego inspiracji. Zapoczątkowany wówczas projekt Cellotronicum jest przez artystę kontynuowany, owocuje nagraniami i kolejnymi prawykonaniami, które prezentowane są w ważnych centrach muzyki współczesnej w Europie. Kolejna edycja Cellotronicum, prezentowana podczas Warszawskiej Jesieni została uhonorowana nagrodą Orfeusz 2006.
Andrzej Bauer jest profesorem Uniwersytetu Muzycznego im. F. Chopina w Warszawie oraz Akademii Muzycznej im. F. Nowowiejskiego w Bydgoszczy, gdzie prowadzi klasy wiolonczeli. Jest również założycielem i opiekunem artystycznym Warszawskiej Grupy Cellonet.
Coraz więcej czasu poświęca kompozycji i improwizowaniu muzyki.